【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】6. 聯絡、矢量叢、規範場論

蓝天白云 提交于 周五, 11/25/2016 - 12:16
语言文字论坛

在򰛶򰎤(黎曼)幾何中,Levi-Civita平行性是一個重要的觀念。Levi-Civita以為在򰛶򰎤幾何(廣義相對論裡的其中一種,稱為򰜞򰝩򰼠(勞倫茲)幾何)都有一個很基本的性質,那就是平行性;在這個時候,空間不再是只用一個坐標系表示的空間,而是需要很多不同的坐標系才能表現的「流形」(manifold),這樣又把幾何研究的空間推廣了。所以我常有個比喻,如果我們把幾何空間的推廣和人類穿衣服的過程相對照,那麼一開始的򰄸򰧮򰛶򰒷(歐幾里得)幾何,便好比人在原始社會中沒有穿衣服,是裸體的;然後򰒼򰡣򰄤(笛卡兒)把坐標的概念加入了「赤裸」的空間,就好比人類開始穿衣服;而到了流形的階段,就好比現代人,不只穿一件衣服,還要常常換。也許有些人不太能接受這樣「奇裝異服」式的換坐標,但是沒有關係,򰄩򱆴򱂫򰗞(愛因斯坦)花了七年的時間,才終於接受坐標可以轉換的概念,而能從狹義相對論進展到廣義相對論。空間中有不同的坐標系,那麼麻煩就來了,因為幾何的性質是和坐標系的選取有關,不過不要緊,只要我們能控制坐標變換的性質,使在變換前即有的性質,經過變換之後仍為我們所控制,那麼換坐標就沒關係了,這是近代幾何學比較困難的地方。

用以表示流形的坐標系是任意的,因此可能是非線性的坐標,這在處理上就變得比較困難;但是我們可以取線性的空間去逼近流形。換句話說,雖然流形本身是非線性的,但在流形上的一點,都有一個和普通空間一樣的線性空間,即切空間。這些切空間之間原本是沒有關係的,而Levi-Civita平行性就是要建立二點之間的切空間的關係;之後,微分幾何學家發現,這個平行性是非常基本的性質。又因為򰖻򰊇學(拓樸學,topology)的發展,我們把這個觀念推廣了,不一定要談切空間,任意一個空間都可以,於是就有矢量叢 (vector bundles) 和聯絡 (connections) 的觀念。也就是說流形的切空間差不多是平的,但是矢量叢卻可以是一個豎起來的空間,任何的矢量空間都可以,這是今天在幾何上大家所公認的一個基本結構。從򰛶򰎤幾何推廣到有聯絡的矢量叢,這也就是物理上規範場論 (gauge field) 的數學基礎。

上一篇:5. 黎曼(򰛶򰎤)及克萊恩(򰡭򰜔򰅴)的幾何學
下一篇:7. 虧格、結、圓周叢

添加新评论

文章分享到