【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】7. 虧格、結、圓周叢

蓝天白云 提交于 周五, 11/25/2016 - 12:42
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򰛶򰎤(黎曼)幾何把幾何局部化,但我們不能永遠只在一個小區域裡頭,所以局部化之後又要整體化,又要把它擴充到全空間。而在這個整體化的擴充當中,最要緊的就是򰖻򰉸(拓樸)學。只要我們不把一個圖形扯破,那麼就有些幾何性質雖經過放大、縮小等很大的變換,也不會改變,例如虧格 (genus) 的性質。比方說我們在一個二次的曲面上挖兩個洞(見圖六),那麼它的虧格就等於 2。虧格也可以等於 3、4……,或者像美國的甜甜圈只有一個洞,虧格就是 1。即虧格等於洞的個數,這個數目是把曲面放大縮小之後仍舊不變的,這是򰖻򰊇不變式的一個例子。

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圖六

 

圖七
圖七

另外一個例子是有關於結 (knot)。如圖七,這是一個三維空間中封閉的曲線,沒有辦法把它解開成一圓周,這就是所謂的結。不要把這想成幾何學家沒有事在玩的東西,在應用上,這有非常重要的意義。剛才說過,物理上的空間是四維的,如果再加上電磁場,就成了五維的空間。򰌱򰡭򰶤򱈘(馬克士威)方程式中,底空間是一個四維的流形,在那上頭的每一點都突出去一條一維的空間(矢量叢)。這一維的空間,在物理上必須是封閉的,所以是一個圓周,數學家稱此為圓周叢 (circle bundles) 也就是說,底空間是四維,每一點又有一個圓周,所以整個空間就是五維的。但是這並不是一個任意的五維空間,它必須滿足這樣特別的一個幾何結構。利用這個觀念,򰌱򰡭򰶤򱈘方程就可寫成下面這樣簡單的形式: 

\[\delta F = J, dF = 0\]

其中 F 是這個圓周叢的一個聯絡的曲率,這曲率是一個二次微分式,d 是代表此微分式的外微分,\(dF=0\)就是說這個二次微分式是封閉的。

另外一個方程式是 δ,\(\delta = *d*\) ,即所謂餘微分(codifferential)。在一般的電磁學書上,是用一組方程來表現򰌱򰡭򰶤򱈘方程。現在由於數學或幾何的發展,不但把一組方程式簡化,而且可由這化簡的方程式去推得數學、幾何、物理上的結論,並不一定要回來把方程式全展開才可獲得相同的結論。所以這觀念上的發展,的確使得科學進步。如果大家有興趣,可試著去證明這組方程和平常我們所見的򰌱򰡭򰶤򱈘方程是一樣的。

圖八
圖八

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