【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】4. 群的觀念

蓝天白云 提交于 周四, 11/24/2016 - 16:55

第三個發展是群的觀念,這是數學上一個基本的結構。數學上總是要運算,加、減、乘、除;研究幾何的話,把這個東西從這個位置移動到其他的位置,也是個運算。而這樣的運算(也稱為運動)有一個特別的性質,也就是說:把一個物體從甲地移到乙地,再移到丙地,可直接把物體從甲地移到丙地,即兩個運動的結果,可經由一次運動來達成,具有這個特殊性質的,便稱其成一群。研究幾何的對象,應是研究經運動群後是不變的幾何的性質。這個觀念立刻便有了重要的發展。

既然討論運動群,有時我們還想討論更大的群,看是不是有些性質不但在運動群下不變,在更大的群之下也是不變。歷史上最主要的例子是投影。假使兩條直線在空間中相交,從一點投影,被一新平面所截,則所得之二直線仍舊是相交。這種「直線相交」的幾何性質,是經過一種比運動還廣的投影之後,仍然不變的。這也有許多應用,如藝術家畫畫,講求透視,遠近合乎幾何的條件。

研究幾何性質在投影群之下不變的是所謂投影幾何。投影幾何的發展,把幾何的觀念推廣了,不只是有普通的歐幾里得幾何(討論幾何性質經運動群後不變的),也可以討論投影幾何中,投影後仍是不變的性質。有許多經運動群後不變的性質,在投影變換後是變了的,像距離、角度,但是還有些更重要的性質在投影下是不變的,而且這些性質能經過(大一點的)投影群不變,在幾何上自有其重要的意義。

法國數學家 򿟑򱂗򰜊(Poncelet,1788~1867年),在投影幾何發展史上是一個主要的人物。他曾追隨򰘩򰉸򰝩(拿破崙)攻打俄國,被俄俘擄,囚禁在俄國監獄中,而他的主要著作,也就是在此時完成的。因此,大家常常抱怨科學研究的設備不好,相形之下,這個例子可以證明這不是科學研究最主要的問題──當然這情形非常例外。

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