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因為有三角形三內角之和等於 180° 這個結論，而有接下來的重要發展：
- 一、球面幾何 球面幾何所討論的三角形，不一定是要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這個情形下，三角形三內角之和會大於 180°，並且有一個非常重要的公式：
- \[A+B+C-\pi = \frac{面积}{R^2}\]
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\(R\)是球的半徑，\(R^2\)則是度量球面的曲率，因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式裡。這在數學或物理上是一個重要發展，因為愛因斯坦的相對論中，\(曲率＝\frac{1}{R^2}\)代表一個場的力，所以幾何度量和物理度量便完全一樣。
- 二、非歐幾何 在這個情形下，三角形三內角之和是小於 180°的，即有如下的重要公式：
- \[A+B+C-\pi = \frac{面积}{R^2}\]
- 此時\(R^2\)代表非歐幾何的一個絕度的度量，換句話說在非歐幾何的平面上，它的曲率是負的，即 \( 曲率＝-\frac{1}{R^2} \)。因此，在空間或者平面的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像非歐幾何。而其相對應的三角形三內角和，也分別有大於或小於 180°之情形，不再滿足的平行公理。
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