【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】2. 球面幾何與非歐幾何

蓝天白云 提交于 周四, 11/24/2016 - 16:17

因為有三角形三內角之和等於 180° 這個結論,而有接下來的重要發展:

 
一、球面幾何 球面幾何所討論的三角形,不一定是要在平面上,也可以是一個球面三角形,在這個情形下,三角形三內角之和會大於 180°,並且有一個非常重要的公式: 
\[A+B+C-\pi = \frac{面积}{R^2}\]
 

\(R\)是球的半徑,\(R^2\)則是度量球面的曲率,因此有曲率的觀念跑到這樣一個簡單的公式裡。這在數學或物理上是一個重要發展,因為愛因斯坦的相對論中,\(曲率=\frac{1}{R^2}\)代表一個場的力,所以幾何度量和物理度量便完全一樣。

二、非歐幾何 在這個情形下,三角形三內角之和是小於 180°的,即有如下的重要公式: 
\[A+B+C-\pi = \frac{面积}{R^2}\]
 
此時\(R^2\)代表非歐幾何的一個絕度的度量,換句話說在非歐幾何的平面上,它的曲率是負的,即 \( 曲率=-\frac{1}{R^2} \)。因此,在空間或者平面的曲率,可以是正的,像球面幾何;也可以是負的,像非歐幾何。而其相對應的三角形三內角和,也分別有大於或小於 180°之情形,不再滿足򰄸򰧮򰛶򰒷的平行公理。

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