【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】5. 黎曼(򰛶򰎤)及克萊恩(򰡭򰜔򰅴)的幾何學

蓝天白云 提交于 周四, 11/24/2016 - 17:11

在幾何學的發展之中,有許許多多幾何學,像򰄸򰧮򰛶򰒷幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學,自然就要有一個人把它綜合集結起來,那就是德國的數學家򰡭򰜔򰅴(克萊恩,F. Klein, 1849~1925年)。他在二十二歲的時候,前往德國小城 Erlangen 的一所大學任教。依據德國的習慣,新教授上任必須做一次公開演講,而他講演的結果──Erlangen program,就是這個新幾何學,他把幾何學建立在群的觀念上:一個空間有一個變換群,允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置。因此有了一個群之後,便有一種幾何,它研究所有經過這個變換群不變的幾何性質。這個群可以是򰄸򰧮򰛶򰒷運動群,也可以是投影變換群,或者其他種種的群。因為群的選擇不同,也就得到許多不同的幾何學;其中包括非歐幾何學。

仿򰡭򰜔򰅴的觀點,只要在空間中有一個所謂二次的超曲面,就有一個非歐幾何,它討論使這個二次超曲面不變的投影變換子群所相應的幾何性質。如:在平面上有一個圓周,非歐幾何就變成研究圓內點所構成的空間的性質,也就是在雙曲平面 (hyperbolic plane) 上討論。因此由򰡭򰜔򰅴的觀點,非歐幾何學就變得極易處理。

在這階段前,還有򰛶򰎤(黎曼 ,Riemann) 幾何的發展,這是򰒼򰡣򰄤(笛卡兒)坐標幾何的自然推廣。在򰒼򰡣򰄤坐標系中如果我們取 m 維的空間,一個點就可以用\(m\)個坐標\(x^1,x^2,...,x^m\)來表示,而此點到原點的距離如果是\(d\) ,那麼就有\(d^2=\sum{g_{ik}x^ix^k}\)(見圖五)。即這個點到原點距離的平方,是坐標的一個二次式。而򰛶򰎤不但用坐標,他還用坐標的微分,於是硬把򰒼򰡣򰄤幾何局部化。因此򰛶򰎤幾何可說是一個局部化的幾何。򰛶򰎤幾何主要建構在弧長 s 上,弧長微分的平方會等於坐標的一個二次微分式,即\(ds^2=\sum{g_{ik}x^ix^k}\);用弧長即可建立一個幾何,因為既然有了 ds,便可計算兩點所連接的曲線的長度,也就是弧長。「測地線」(geodesic) 是指在兩點間使弧長最短的那條曲線,它是平面上直線的推廣。有了測地線,便可以有面積及其他種種觀念。

圖五
圖五

򰛶򰎤幾何最初在二維的情形是򰟜򱂫(高斯,Gauss, 1777~1854年)發展的,他在1827年寫了一本差不多五十頁的小冊子,研究在二維(即曲面)的情形及這樣的\(ds^2\)之下,所能夠發展的幾何性質。他的目的是為了應用,因為當時的德國 Hannover 政府要他主持一個測量工作,為了給這個測量工作一個理論甚礎,於是򰟜򱂫寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文,微分幾何自此誕生。以前關於把微積分用在幾何上的問題,只能說是微積分在幾何學上的應用,在򰟜򱂫這篇文章之後,微分幾何便成了一門獨立的學問,就是從\(ds^2\)得到一切的幾何性質。

1854年,򰛶򰎤(1826~1866年)在為取得大學教書資格的公開演講上,發表了򰛶򰎤幾何的第一篇論文。򰛶򰎤幾何並不像其他我們所談的򰄸򰧮򰛶򰒷幾何,或者򰡭򰜔򰅴的 Erlangen program 幾何,或者是投影幾何,需要整個的空間。在򰛶򰎤幾何的情形之下,我們只需要空間的一部分,因為\(ds^2\)有意義,我們便可量弧長、面積、角度等幾何性質,不需要知道全部的空間。也就是說,在這樣的一個小塊裡,便可發展全部的幾何性質,這是򰛶򰎤幾何革命性的觀念,使幾何局部化,這個和物理上的場論是完全符合的。

真正使򰛶򰎤幾何受到重視的是򰄩򱆴򱂫򰗞(愛因斯坦)的廣義相對論。大致說起來,򰄩򱆴򱂫򰗞的廣義相對論是要把物理幾何化,也就是說把物理的性質變為幾何的性質,因此򰛶򰎤幾何就成為物理學家一定要念的一門數學。到了򰛶򰎤空間一樣有曲率的概念,只是因為򰛶򰎤空間是高維的,所以它的曲率概念就變得相當複雜。在򰄩򱆴򱂫򰗞的廣義相對論中的基本公式裡,大致說起來,物理的力是一個曲率;數學家講曲率和物理學家講力、位 (potential)、速度,是完全可以把它們連在一起的。

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