【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】3. 坐標幾何

蓝天白云 提交于 周四, 11/24/2016 - 16:35

歐幾里得幾何之後,第二個重要的發展是坐標幾何。這是法國哲學家、數學家笛卡兒(1596~1650年),對於研究幾何,引進了坐標的概念,因此可用解析的方法來處理幾何的問題。坐標就是說:假使在 X-Y 平面上,有兩個軸:X 軸和 Y 軸,那麼一個點的兩個 XY 坐標,就分別以如圖四中的兩個相對應的度量來表示。

圖四
圖四

因此幾何的討論可用解析方法,即: 

公式


於是幾何的問題便成為代數的問題。

這樣的發展不但使幾何問題的處理容易些,更有其重大的意義:

 
一、解析之後,使可研究的圖形的範圍擴大,除了直線的一次方程式, 或者圓周的二次方程式,我們還可以取任意的方程式 \(f(x,y)=0\), 討論所有點它的坐標\((x,y)\)適合這樣方程式的軌跡。 因此許多用幾何的方法很難處理的曲線,在解析化之後, 都可從表示它的方程式中得到有關的幾何性質。
 
二、研究的圖形不再局限在二維的平面上,可推廣至高維的空間。 世界上的事情,如果只用二維的平面,往往不足以表示, 需要取更多的坐標。例如我們所在的空間是三維,有\(x\)、\(y\)、\(z\)三個度量。 假使要用幾何來表示物理的問題,那麼三個度量之外,尚須加一個時間 t, 所以物理的空間就變成了四維的空間;不但如此,假使有一點在三維空間運動,那麼除了需要\((x,y,z)\)來表示點的位置, 還需要這三坐標對時間的微分來表示它的速率, 即\((\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt})\) ,這就成了六維空間。所以種種的情形都指示我們有必要考慮更高維的空間, 來表示自然的現象。

 

解析幾何把幾何研究的範圍大大地擴大了,而科學發展的基本現象, 就是要擴大研究的範圍,了解更多的情形。򰒼򰡣򰄤(笛卡兒)的解析幾何, 便達到了這個目的,使幾何學邁入一個新的階段。

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