【從򰄸򰧮򰛶򰒷到微分幾何】1. 幾何原本

蓝天白云 提交于 周四, 11/24/2016 - 11:23

在差不多一百年前,幾何就是򰄸򰧮򰛶򰒷(歐幾里得)。他在公元前三百年左右寫了一部大書,中文叫做《幾何原本》。從這本書我們可以看出:在當時的社會,幾何並不被大家所注意,所以像򰄸򰧮򰛶򰒷這樣偉大的人,我們也不大知道他的生平。大致說起來,他是屬於西元前365~275年間的人物,這是大致算的時間,並不表示他活了90歲。

這本書是人類文化史上一部非常偉大、有意義的著作,它的主要結論有兩個:

 
一. 畢氏定理: 有一直角三角形 ABC,則長邊的平方會等於其他兩邊的平方和。 由幾何方面來說,如果我們在三邊上各作一個正方形, 那麼兩個小正方形的面積和就會等於大正方形的面積(見圖一)。

 

 

图一
图一 \(c^2 = a^2 + b^2\)

這本書在當時受到重視,不單只是為了學幾何,主要還要學一種邏輯推理的方法。򰄸򰧮򰛶򰒷用幾個很明顯的事實──公理,把幾何的結論從公理用邏輯的方法推出。而在他所列出的公理當中,較受爭議的是平行公理。平行公理原來是說:有兩條直線被一直線所截,如果截角的和小於 180°,那麼這兩條直線在充分延長後,必相交於一點。(見圖二)

图二
圖二  \(\angle 1 +  \angle 2 < 180°\)

 

另一個簡單的說法是:假使有一直線和線外一點, 那麼通過那個點就剛剛好只有一條直線和原來的直線平行。 平行者,就是這兩條直線不相交(見圖三)。

圖三
圖三

這個平行公理在所有公理之中是最不明顯的,所以數學家或是對數學有興趣的人便想從其他的公理去推得平行公理。而這努力延持了兩千年,後來證明這是不可能的,於是有了非歐幾何學的發現,這在人類思想史上是非常特別、有意思的事實。因此我感覺到這是西洋數學和中國數學不同的地方。

《九章算經》是中國古代最有名的數學書,一共九章,第九章談的是所謂勾股,勾、股就是直角三角形中較短約兩個邊,一個叫做勾,另一個就叫做股,而最長的那個邊便稱為弦。勾股定理也就是剛才所謂的畢氏定理,所以它的發現,中國人也應該有份。但是在中國的幾何中,我無法找到類似三角形三內角和等於 180° 推論,這是中國數學中沒有的結果。

因此,得之於國外數學的經驗和有機會看中國數學的書,我覺得中國數學都偏應用;講得過分一點,甚至可以說中國數學沒有純粹數學,都是應用數學。這是中國科學的一個缺點,這個缺點到現在還存在,大家都講應用,不注意基礎科學。當然應用很要緊,但是許多科學領域基本的發現都是在基礎科學。

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